Python. Производные, интегралы и ОДУ

Если искомая функция является полиномом, для её дифференцирования и интегрирования можно использовать методы модуля numpy.polynomial.polynomial. Хочу обратить внимание, что самый левый коэффициент соответствует младшему члену полинома, правый - старшему. Функции polyder() и polyint() содержат дополнительные опциональные коэффициенты, которые позволяют использовать их более гибко.

Lua. Больше чем калькулятор

В одном из предыдущих постов я описал свой опыт использования Lua в качестве системы для расчётов. Идея заключалась в том, чтобы перед началом работы подгружать в стандартный интерпретатор необходимые математические функции. Со временем функционал вырос, усложнилась справочная система, появилась возможность локализации, тестирование... В итоге, calc.lua превратился в LuaCalculus. Здесь я хотел бы описать основные возможности программы на данный момент.

Maxima. Дифференциальные уравнения

Для решения обыкновенных дифференциальных уравнений в Maxima служит функция 

ode2(выражение, y, x),

где y - искомая функция, x - независимая переменная. Выражение может быть дифференциальным уравнением первого или второго порядка. Данная функция умеет находить решения для различных типов уравнений:

первого порядка

- линейные;

- с разделяющимися переменными;

- однородные;

- уравнения в полных дифференциалах;

- уравнения Бернулли;

- обобщённые однородные уравнения;

второго порядка

- с постоянными коэффициентами;

- в полных дифференциалах;

- однородные линейные с постоянными коэффициентами, которые могут быть сведены к уравнениям с постоянными коэффициентами;

- уравнения Эйлера;

- уравнения, разрешимые методом вариации постоянных;

- уравнения, свободные от независимой переменной, допускающие понижение порядка. [Е.А. Чичкарёв, "Компьютерная математика с Maxima"]

SMath. Программы

SMath Studio предоставляет возможность организовывать циклы и ветвления, позволяя таким образом формировать достаточно сложные вычислительные алгоритмы. 

Scilab. ОДУ

Базовой функцией Scilab для решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка является

   y = ode([type,] y0, t0, t, f)

где y0 - вектор начальных значений функции  y(t) в точке t0, t - координаты узлов расчётной сетки, f - связь значения функции с её производной dy/dt = f(y,t). Необязательный параметр type - метод поиска решения (adams - метод Адамса, stiff - жёсткая задача, rk - адаптивный метод Рунге - Кутта четвёртого порядка, rkf - пятиэтапный метод Рунге - Кутта четвёртого порядка, fix - rkf с фиксированным шагом). Хотя в функции ode() можно указать ещё ряд параметров (точность, якобиан и др.), я не стал их записывать, чтобы не перегружать вид выражения.

Freemat. Дифференциальные уравнения

Freemat  умеет решать только обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, и только одним способом - методом Рунге-Кутта. Чтобы им воспользоваться, нужно представить уравнение в виде y'(t) = f(t,y) и задать начальное условие y(0) = y0. Сам расчёт производится функцией ode45:

[t,y] = ode45(f(t,y), tsp, y0, option), 

где f(t,y) - функциональная связь производной со значением аргумента и функции, 

tsp - интервал t, на котором производится расчёт, 

y0 - значение функции в начальной точке,

option - дополнительные параметры.