Python. Символные вычисления

Если ввести в поисковике запрос "символьные вычисления в python", большинство результатов будут посвящены модулю SymPy. Это действительно мощный инструмент, описание работы с которым можно найти, например, здесь. Я же ограничусь кратким рассмотрением некоторых из возможностей данного модуля. 

Freemat. Добавим функциональности

Недавно, просматривая список функций в FreeMat, я заметил там упоминание о массиве ячеек, отдалённо напоминающем списки из Lisp-а. И появилось желание попробовать сделать что-нибудь для работы с символьными выражениями... например, функцию для дифференцирования функции аналитически... Итак, дайте бубен, будут танцы! :)

Maxima. Интегрируем и дифференцируем

Дифференцирование в Maxima можно выполнить с помощью функции

diff(выражение, x1, n1, x2, n2, ...),

где n - порядок производной по соответствующему аргументу x. 

Если ни одной переменной не указано, будет найден дифференциал. Для производной первого порядка n можно не писать.

Maxima. Символьные преобразования

Большинство рассмотренных ранее возможностей Maxima не являются чем-то уникальным и могут быть с той или иной степенью удобства повторены в других математических программах. В этом посте я хочу кратко осветить то, что является "коньком" программы, а именно, упрощение символьных выражений.

Maxima. Списки

В наследство от функционального программирования, и Lisp в частности, Maxima получила списки как базовую форму представления данных. Списком является группа элементов, разделённых запятыми и заключённых в квадратные скобки (совсем как в Python). Список может быть пустым или содержать любые другие элементы, в том числе вложенные списки. Запись

   list:[1,a,[x,y]]

определяет список list, состоящий из 3-х элементов, последний из который сам является списком. Обратиться к определённому элементу можно по индексу (начиная с 1):

   list[2] - a

   list[3] - [x,y]

   list[3][1] - x

Возможно, вы не планируете использовать в работе списки, но многие функции в Maxima возвращают результат именно в виде списков, поэтому нужно иметь представление о том, как с ними обращаться.

Maxima. Уравнения

Корни алгебраических уравнений и систем в Maxima могут быть найдены с помощью функции
solve([ур-е1, ур-у2, ... ур-еN],[x1,x2,...xN])

где в левой части перечисляются уравнения, а в правой - переменные. Функция solve() также может быть использована и для поиска решений тригонометрических уравнений, но программа возвратит только один корень.

SMath. Интегралы и производные

Для дифференцирования в SMath Studio служит функция diff(), которая может вернуть как символьное выражение производной, так и значение в точке. Функция записывается в виде diff(выражение; переменная) или diff(выражение; переменная; порядок). Не пугайтесь, что при записи вид выражения будет меняться, так задумано) Знак дифференциала можно вставить и из меню инструментов "Функции". Для получения символьного выражения используйте вместо равенства оператор символьного вычисления.

Узнать величину определённого интеграла можно с помощью функции int(выражение; переменная; нижний_предел; верхний_предел).

SMath. Функции и символьные операции

Пользовательская функция в SMath Studio имеет формат

имя(арг1;арг2;...аргN):=выражение

Т.е. для её задания необходимо указать имя, затем в скобках через ";" перечислить аргументы, после чего ввести знак ":=" (с правой панели или нажатием "Ctrl+:") и записать функциональное выражение. Чтобы затем получить значение функции при некоторых аргументах, нужно указать её имя, в скобках задать эти аргументы и нажать знак равенства.

Octave. Символьные вычисления

Интересной особенностью Octave является возможность работы с символьными выражениями, которая обеспечивается использованием библиотеки GiNaC. Реализованы, правда, далеко не все её возможности, но и того, что есть, во многих случаях достаточно.

Mathomatic. Символьные преобразования

Рассмотрим основные возможности Mathomatic в области символьных преобразований.