Онлайн расчёты

Мой интерес к десктопным математическим программам в эпоху развития интернет-сервисов выглядит немного архаично. Чтобы это исправить, приведу подборку ссылок на доступные онлайн ресурсы. 

Maxima. Динамические системы

Для решения задач теории управления в Maxima имеется пакет coma, который содержит набор функций, упрощающих данную работу. Скачать руководство (на английском), а также сам пакет (при необходимости), можно по данной ссылке. 

Пакет использует ряд соглашений: параметр Лапласа всегда обозначается через s, время - t, частота - omega, если аргументом выражения является передаточная функция, то оно может обрабатывать и список функций.

Maxima. Ускорение

Каждый раз при вызове пользовательской функции Maxima выполняет её разбор, что не существенно для однократного вызова, но может сказаться при работе в цикле. Однако, есть возможность ускорить (теоретически) вычисления с помощью трансляции или компиляции функций.

Maxima. Сохранение сессии

Maxima предоставляет ряд функций для сохранения как всей текущей сессии, так и отдельный выражений. Есть возможность даже использовать форматы TeX и Fortran, но мы рассмотрим только основные варианты, предназначенные для работы в самой системе Maxima.

Maxima. Скрипты

Было бы странно, если б такая умная система, как Maxima, не умела работать со скриптами... К счастью, она это умеет. Всё что нужно сделать для запуска скрипта, это вызвать функцию batch(имя_файла). Если файл лежит не в стандартных папках программы, может помочь дополнительная функция: batch(file_search(имя_файла)).

Liber est mutus magister

Опыт работы с кроссплатформенными математическими программами, а также желание им поделиться, появились у меня достаточно давно, и первоначально приняли форму hand-made книги "Математика for free", которую я выложил в интернете. Раньше я не публиковал в этом блоге ссылку на неё, т.к. материал частично повторялся. Кроме того, блог содержит значительно больше информации, чем книга. Тем не менее, возможно, кому-то удобнее иметь справку под рукой, чем каждый раз заходить в интернет, если так, вы можете скачать книгу с моего диска. Я писал её как справочник и сам периодически пользуюсь им, особенно, после длительных перерывов в работе. Буду рад, если она пригодится кому-то ещё :)

Maxima. Алгоритмизация

Для построения алгоритмов в Maxima предусмотрен ряд операторов. Начнём с ветвления. Оно реализуется в виде

if условие then выражение1 else выражение2

Если условий несколько, используйте оператор elseif:

if условие1 then выражение1 elseif условие2 then выражение2 ... else выражениеN

Maxima. Работа с данными

Для загрузки данных из файла в Maxima имеется семейство функций read_, в частности, прочитать матрицу позволяет read_matrix(файл, разделитель). Разделитель необязателен (по умолчанию это пробел), но может принимать значения coma (запятая), semicolon (точка с запятой), space (пробел). Вместо имени файла обычно используется функция file_search(файл), которая возвращает полный путь к файлу (или false, если результат поиска отрицательный). Записать данные X в файл позволяет функция write_data(X, файл, разделитель). По умолчанию, разделителем также является пробел.

Maxima. Пределы и ряды

Найти предел функции (но не достичь предела возможностей Maxima) позволяет функция

limit(выражение, переменная, предел, знак)

где последний параметр означает левый (-) или правый (+) предел и является необязательным (как, в принципе, и всё остальное, кроме самого выражения). Как обычно, inf означает бесконечность положительную, minf - отрицательную.

Maxima. Дифференциальные уравнения

Для решения обыкновенных дифференциальных уравнений в Maxima служит функция 

ode2(выражение, y, x),

где y - искомая функция, x - независимая переменная. Выражение может быть дифференциальным уравнением первого или второго порядка. Данная функция умеет находить решения для различных типов уравнений:

первого порядка

- линейные;

- с разделяющимися переменными;

- однородные;

- уравнения в полных дифференциалах;

- уравнения Бернулли;

- обобщённые однородные уравнения;

второго порядка

- с постоянными коэффициентами;

- в полных дифференциалах;

- однородные линейные с постоянными коэффициентами, которые могут быть сведены к уравнениям с постоянными коэффициентами;

- уравнения Эйлера;

- уравнения, разрешимые методом вариации постоянных;

- уравнения, свободные от независимой переменной, допускающие понижение порядка. [Е.А. Чичкарёв, "Компьютерная математика с Maxima"]

Maxima. Интегрируем и дифференцируем

Дифференцирование в Maxima можно выполнить с помощью функции

diff(выражение, x1, n1, x2, n2, ...),

где n - порядок производной по соответствующему аргументу x. 

Если ни одной переменной не указано, будет найден дифференциал. Для производной первого порядка n можно не писать.

Maxima. Символьные преобразования

Большинство рассмотренных ранее возможностей Maxima не являются чем-то уникальным и могут быть с той или иной степенью удобства повторены в других математических программах. В этом посте я хочу кратко осветить то, что является "коньком" программы, а именно, упрощение символьных выражений.

Maxima. Списки

В наследство от функционального программирования, и Lisp в частности, Maxima получила списки как базовую форму представления данных. Списком является группа элементов, разделённых запятыми и заключённых в квадратные скобки (совсем как в Python). Список может быть пустым или содержать любые другие элементы, в том числе вложенные списки. Запись

   list:[1,a,[x,y]]

определяет список list, состоящий из 3-х элементов, последний из который сам является списком. Обратиться к определённому элементу можно по индексу (начиная с 1):

   list[2] - a

   list[3] - [x,y]

   list[3][1] - x

Возможно, вы не планируете использовать в работе списки, но многие функции в Maxima возвращают результат именно в виде списков, поэтому нужно иметь представление о том, как с ними обращаться.

Maxima. Графики

Построить простейший график в Maxima не трудно, достаточно записать plot2d(функция, интервал), где интервал задаётся в виде [переменная, начало, конец]. Если нужно задать дополнительные параметры, имеет смысл воспользоваться инструментом для построения из меню "Графики - Plot 2d". 

Однако мы, как истинные джедаи, воспользуемся аутентичными средствами, т.е. будем вводить команды вручную.

Maxima. Уравнения

Корни алгебраических уравнений и систем в Maxima могут быть найдены с помощью функции
solve([ур-е1, ур-у2, ... ур-еN],[x1,x2,...xN])

где в левой части перечисляются уравнения, а в правой - переменные. Функция solve() также может быть использована и для поиска решений тригонометрических уравнений, но программа возвратит только один корень.

Maxima. Матрицы

Работать с матрицами в Maxima хоть и не так удобно, как, скажем, в Freemat, но вполне возможно. Матрица задаётся с помощью выражения

matrix(стр1, стр2, ... стрN), 

где стр1 - стрN - списки элементов каждой из строк. В wxMaxima также можно воспользоваться меню "Алгебра" - "Enter matrix", затем указать имя, размер, тип матрицы и заполнить её элементы. Кстати, элементами могут быть не только числа, но и символьные переменные. Получить элемент (i,j) матрицы M можно с помощью выражений M[i,j] или M[i][j]. При этом индексация начинается с 1, т.е. M[1,1] - левый верхний угол.

Maxima. Функции

Вот запись наиболее распространённых матиматических функций в версии Maxima.

abs(a) - модуль числа a.
sqrt(a) - квадратный корень из a.
exp(a) - экспоненциальная функция.
log(a) - натуральный логарифм.

random(t) - случайное число. Если t целое, вернёт целое число в интервале от 0 до t-1, если же t дробь, результатом также будет дробь из отрезка от 0 до t.

realpart(z) - действительная часть комплексного числа z.
imagpart(z) - мнимая часть комплексного числа z.

sin(a), cos(a), tan(a), cot(a) - синус, косинус, тангенс и котангенс числа a.
asin(a), acos(a), atan(a) - арксинус, арккосинус, арктангенс числа.

sinh(a), cosh(a), tanh(a), coth(a) - гиперболические синус, косинус, тангенс, котангенс.
asinh(a), acosh(a), atanh(a) - обратные тригонометрические функции.

Maxima. Калькулятор

Конечно, Maxima умеет выполнять многие хитроумные операции, но ничто человеческое ей не чуждо. Поэтому, если вы просто хотите сосчитать, сколько будет шестью восемь, программа с лёгкостью это сделает. 

Maxima. Скажи рутине "нет"

Во время учёбы больше всего мне нравилось заниматься преобразованием математических выражений. Я мог часами раскрывать скобки, домножать, сокращать, перегруппировывать и т.д., чтобы получить в конце "красивую" и удобную формулу. Процесс это в достаточной степени творческий, а творчество, как известно, состоит из вдохновения и рутины. Причём, последней значительно больше. 

Так вот, Maxima врядли поможет вам найти вдохновение, но точно избавит от рутины. Эта программа содержит инструменты для упрощения выражений, поиска корней, взятия интегралов и производных, работы с матрицами и ещё много чего другого... Maxima написана на Lisp и находится в родстве с такими монстрами, как Maple и Mathematica.